Üçgende benzerlik formüller ve teoremleri kısa konu anlatımı özet

Üçgenlerin benzerliği kavramını en basit, en açık ve en kolay ifadelerle açıklayan harika bir makale ile karşınızdayız. Bu sayfada üçgende benzerlik ile ilgili en iyi konu anlatımını sizlere sunuyoruz…

1. Benzer Üçgenler

Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir.

ABC ve DEF üçgenleri için;

oranı yazılır

Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve

ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.

eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik oranı yada benzerlik

katsayısı denir.

•  k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenler denir.

ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.

2. Açı – Açı Benzerlik Teoremi

Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir.

Şekilde verilen üçgenlerde

İkişer açıları eş olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır. Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.

m(C)=m(F)

3. Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Teoremi

İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı ortanılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir.

ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.

BAC açısının kısa kenarının EDF açısının kısa kenarına oranı, BAC açısının uzun kenarının EDF açısının uzun kenarına oranına eşittir.

4. Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Teoremi

İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.

Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir.

m(A) = m(D),

m(B) = m(E),

m(C) = m(F)

5. Temel Benzerlik Teoremi

ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş  açılar eş  olacağından   ADE ~ ABC dir.

Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1birime 2 birim oranında böler. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC] |AK|=2|KB||AL|=2|LC|

6. Tales Teoremi

Paralel doğrular kendilerini kesen  doğruları aynı orandabölerler.  d1 // d2 // d3  doğruları için Buradan de elde edilir

[AB] // [DE] ise oluşan içters  açıların eşitliğinden,ABC ~ EDC olur. Buradan, eşitliği elde edilir. Buna kelebek benzerliği de denir.

7. Benzerlik Özellikleri

Benzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün elemanları orantılıdır.

ABC ~ DEF  �

Burada k ya benzerlik oranı denir.

a. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlik oranına eşittir.

b. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenar-ortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

c. Benzer üçgenlerde eş açılara ait açıortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

d. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlik oranına eşittir.

e. ABC üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı r_ABC ve çevrel çemberin yarıçapı R_ABC , DEF üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı r_DEF ve çevrel çemberin yarıçapı R_DEF olsun.

f. Alanlar oran�

Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir.

g. Benzerlik oranı k = 1 olan üçgenler eş üçgenlerdir.

Kenarları eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 � gibi tek sayılarla orantılı olarak artar.

[AB] // [EF] // [DC]  benzerlik özelliklerinden,   |AB|.|FC|=|DC|.|BF|

8. Özel Teoremler

a. Menelaüs

ABC üçgeni KM doğru parçası ile şekildeki gibi kesiliyor ise

b. Seva

ABC üçgeni içerisinde alınan bir P noktası için,

Üçgende benzerlik konusu kpss geometri dersi dahilindedir. Bilindiği üzere kamu personeli seçme sınavında genel yetenek bölümünde geometri ile ilgili az soru çıkmaktadır. Buna paralel olarak da üçgende benzerlik konusuyla ilgili son 12 yılda sadece 2 soru çıkmıştır. Ancak yüksek puan hedefleyen memur adaylarının bu konuyu iyi kavraması gerekmektedir. Üçgende benzerlik konusu içinde mantığı da barındırdığı için diğer geometri konularına göre daha zevklidir.

Üçgende Benzerlik

Kpss geometri konusunda, bir cismin belli bir oranda büyütülmesi ve küçültülmesi ile oluşan şekiller birbirlerinin benzeri olarak adlandırılır.

Bütün çemberler ve bütün kareler benzerdir.

Her üçgen benzer değildir. Üçgenlerin benzer olabilmesi için, iki üçgen arasında yapılan karşılaştırmada bu iki üçgenin iki iç açısı eşit veya bu üçgenlerin kenarlarının orantılı olması gerekmektedir. Eğer bu şartlar gerçekleşirse bu iki üçgen benzer üçgendir denir.

Yandaki ABC üçgeni ile DFE üçgeni benzer üçgenlerdir. Bu benzer üçgenler  şeklinde gösterilir. Ayrıca bu iki benzer üçgen arasındaki bağıntılar da şu şekildedir:

, ,

Buradaki ”k” benzerlik sabitidir. Eğer ”k” 1 ise üçgenler eşittir denir.

İki üçgen arasında bulunan benzerlik oranı bu iki üçgenin çevreleri, yükseklikleri, açıortayları ve kenarortayları arasında da bulunur. Yani iki üçgen arasında benzerlik oranı 2 ise yükseklikleri oranı da 2 olacaktır. (Yükseklikleri çizilen kenarların oranı aynı olmalıdır.)

Kpss geometri üçgende benzerlik konusunda, İki üçgen arasında bulunan benzerlik oranının karesi bu iki üçgenin alanları oranına eşittir.

• Açı – Açı Benzerliği: Herhangi iki üçgenin iki iç açısı eşit ise bu üçgenler benzer üçgenlerdir.

Buradan zaten iki iç açısı eşitse üçüncü açı da eşittir anlamı çıkmaktadır.

Açı – açı benzerlik teoremini bir örnekle açıklayalım.

 

ABE ve ECD birer üçgen olmak üzere;

ise kaç cm’dir?

ters açı olduğundan üçüncü açı olan  açıları eşit olur. Buradan  benzerliği ortaya çıkmaktadır. Dolayısıyla benzerlik bağıntısını belirtirsek sonuca ulaşmış oluruz. 

• Kenar Açı Kenar Benzerliği: Üçgende benzerlik konusu içindeki kenar açı kenar benzerliği, iki üçgenin birer açıları eşit ve bu açıları oluşturan kenarlar orantılı olduğu zaman oluşmaktadır.

Yandaki benzer iki üçgende ortak açıları oluşturan kenarları orantıladığımızda şu eşitliği elde ederiz:

• Kenar – Kenar – Kenar Benzerliği: Bu benzerlikte de iki üçgenin tüm kenarları orantılı ise üçgenlerde benzerlik ortaya çıkar.

Kenar kenar kenar benzerliğinde orantılı kenarları gören açıların ölçüleri de eşittir.

• Temel Benzerlik Teoremi: Orantılı doğru parçaları ya da Thales olarak da adnlandırılan temel benzerlik teoremi şu şekilde olmaktadır.

Ayrıca bu şekilde oluşan temel benzerlik teoreminde paralelliği de ortaya çıkmaktadır.

Kpss genel yetenek Geometri dersine ait Üçgende Benzerlik konusu tamamlanmıştır. Bir sonraki kpss geometri konusu Çokgenler olacaktır.